Karena putusan cerai Anda dikeluarkan oleh pengadilan agama, maka saya meyakini Anda beragama Islam. Dalam hukum Islam, hak asuh anak (hadhanah) untuk anak yang masih belum dewasa cenderung diberikan ke Ibu. Namun, hal ini tidak berarti ayah kandungnya lepas tanggung jawab. Jadi, terlepas apakah masalah hak asuh ini dinyatakan apa tidak di dalam putusan hakim, maka tanggung jawab kedua orang tuanya tetap melekat untuk merawat dan membesarkan anak ini sampai ia dinyatkaan baligh.

Sebenarnya kartu keluarga (KK) tidak terkait langsung dengan hak asuh. KK harus memotret kondisi riil siapa saja yang tinggal bersama dengan Anda sebagai satu keluarga di dalam satu domisili. Sebagai contoh, pembantu/asisten rumah tangga yang sudah bertahun-tahun tinggal bersama majikannya, terkadang ikut dimasukkan dalam kartu keluarga majikannya. Jika anak Anda senyatanya tinggal bersama Anda, maka anak ini harus ada di dalam KK di mana Anda menjadi kepala keluarganya.

Saran saya, sebaiknya lakukan pendekatan kekeluargaan dengan mantan suami Anda, dengan menekankan kepentingan anak ini untuk mengurus dokumen kependudukannya di kemudian hari. Jika mantan suami sudah setuju, tentu tidak ada alasan dari instansi terkait untuk menolak permintaan Anda.  Jika langkah-langkah ini tetap memenuhi jalan buntu, maka langkah terakhir adalah Anda mengajukan permohonan kembali ke pengadilan (yang dulu memutuskan perkara perceraian Anda) untuk menetapkan status hak asuh ini.